如何使数学教学成为数学活动的教学

作者：文章来源：点击数：更新时间：2023-04-27 20:35

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前苏联著名教育家斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活动的教学（思维活动的教学）。”^①这种提法，是符合数学教育发展要求的，在数学教育改革的今天，使数学教学成为数学活动的教学非常必要。

所谓数学活动是指把数学教学的积极性概念作为具有一定结构的思维活动的形式和发展来理解的。按这种解释，数学活动教学所关心的不是活动的结果，而是活动的过程，让不同思维水平的儿童去研究不同水平的问题，从而发展学生的思维能力，开发智力。

那么，要想使数学教学成为数学活动的教学主要应考虑哪几个问题呢？下面谈谈我的一些想法。

一、考虑学生现有的知识结构

知识和思维是互相联系的，在进行某种思维活动的教学之前，首先要考虑学生的现有知识结构。什么是知识结构？一般人们认为：在数学中，包括定义、公理、定理、公式、方法等，它们之间存在的联系以及人们从一定角度出发，用某种观点去描述这种联系和作用，总结规律，归纳为一个系统，这就是知识结构。在教学中只有了解学生的知识结构，才能进一步了解思维水平，考虑教新知识基础是否够用，用什么样的教法来完成数学活动的教学。

例如：在讲解一元二次方程ax²＋bx＋c＝0 （ a≠0）的判别式，讨论它的解的情况时，需会用直接开平方法，配方法，因式分解法，或求根公式法等方法求一元二次方程的根。那么上课前教师要清楚这些方法学生是否掌握，掌握程度如何。根据这些情况，适当设计符合于学生的梯度性问题，逐层深入，这样，活动教学才能顺利进行。

二、考虑学生的思维结构

数学教学是数学思维活动的教学，进行数学教学时教师自然应考虑学生现有的思维活动水平。

心理学早已证明，思维能力及智力品质都随着青少年年龄的递增而发展，学生的思维水平在不同的年龄阶段上是不相同的。斯托利亚尔在《数学教育学》中介绍了儿童在学习几何、代数时的五种不同水平，在这五个阶段上，学生掌握知识，思考方式、方法，思维水平都有明显差异。因此，要使数学教学成为数学活动的教学必须了解学生的思维水平。下面谈谈与学生思维水平有关的两个问题。

1．中学生思维能力之特点

我们知道，中学生的运算思维能力处于逻辑抽象思维阶段，尽管思维能力的几个方面的发展有所先后，但总的趋势是一致的。初一学生的运算能力与小学四、五年级有类似之处，处于形象抽象思维水平；初二与初三学生的运算能力是属于经验型的抽象逻辑思维；高一与高二学生的运算能力的抽象思维，处在由经验型水平向理论型水平的急剧转化的时期。从概括能力、空间想象能力、命题能力和推理能力四项指标来看，初二年级是逻辑抽象思维的新的起步，是中学阶段运算思维的质变时期，是这个阶段的关键时期。高一年级是逻辑抽象思维阶段中趋于初步定型的时期，高中之后，学生的运算思维走向成熟。总的来说，中学生思维有如下特点：

首先，整个中学阶段，学生的思维能力得到迅速发展，他们的抽象逻辑思维处于优势地位，但初中学生的思维和高中学生的思维是不同的。初中学生的思维，抽象逻辑思维虽然开始占优势，可是在很大程度上还属于经验型，他们的逻辑思维需要感性经验的直接支持。而高中学生的抽象逻辑思维则属于理论型的，他们已经能够用理论作指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。也只有在高中学生那里，才开始有可能初步了解对立统一的辩证思维规律。

其次，初中二年级是中学阶段思维发展的关键期。从初中二年级开始，中学生抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水平转化，到高中一、二年级，这种转化初步完成，这意味着他们的思维趋向成熟。这就要求教师，要适应他们思维发展的飞跃时期来进行适当的思维训练，使他们的思维能力得到更好的发展。

2．学习数学的几种思维形式

(1)逆向思维。是一种由果索因的思维方式，与由条件推知结论的思维过程相反，先给出某个结论或答案，要求使之成立各种条件。比如说，给一个浓度问题，我们列出一个方程来；反过来，给一个方程，就能编出一个浓度方面的题目。后者就属于逆向型思维。这种逆向型思维方式能提高学生分析问题和解决问题的能力，并能逐步培养数学思维的严谨性。

(2)造例型思维。某些条件或结论常常要用例子说明它的合理性。

例如：当0<a<1时，试化简|a-1/a|。化简这个绝对值要首先判断“a-1/a”的正负性，可采取如下方法：因为0<a<1，所以1/a>0，即a-1/a<0，所以a-1/a是负数。如果是选择题或者填空题，还可在0<a<1中任取一些特殊的数值代入检验，判断a-1/a的正负性，再利用“去绝对值的有关性质”化简。

某些问题也常常要用反例证明其不合理性。

例如：试判断“对角线相等的四边形是矩形”。可以举出等腰梯形这个反例；或者任意画两条长度相等的线段，然后再连结两条线段的四个顶点所构成的四边形。

如图所示：对角线AC=BD=3cm,但所围成的四边形不是矩形。

根据要求构造例子，往往是由抽象回到具体，综合运用各种知识的思考过程。

(3)归纳型思维。通过对问题的观察，测量，试验，猜测，探索，分析，归纳，从若干个具体的例子中找到一般规律，并加以证明的思维方式。

例如：在证明多边形的内角和定理-------一个n边形的内角和为（n-2)×180 º。可以采取如下一种从特殊到一般的证明方法。

（4）开放型思维。即只给出研究问题的对象或某些条件，至于由此可推知的问题或结论，由学生自己去猜测，探索并证明。这正是“海阔凭鱼游，天高凭鸟飞”。^②

例如：式子：3x²y , -5mn² 和+8abc 都是式。

又如：如图以△ABC的三边为边，分别作三个等边三角形△ABD，△BCE，△ACF，

1）求证：四边形ADEF是个平行四边形。

2）△ABC满足什么条件时四边形ADEF是菱形。

3）这样的四边形ADEF中否总是存在？写出这个四边形存在的条件。^③

它重视了人的主体性和主观能动性，拓宽了学生的思维空间，训练了学生的发散思维，充分张扬了学生的个性，积极培养了学生的创新意识和创新精神。了解了学生的思维特点和数学思维的几种主要形式，在教学中，结合教材的特点，利用一定的教学器材，借助一定的教学媒体，运用有效的教学方法，思维活动的教学定能收到良好效果。

三、考虑教材的逻辑结构

我们现有的中学数学教材内容有的是按直线式排列，有的是按螺旋式排列。如果进行数学活动的教学，教材的逻辑结构就应有相应的变化。比方说，指数、对数、开方三种不同形式都可表示为：a、b、N之间的关系a的b次幂等于N，是否可以把它们安排在一起学习。再比方说，关于一元一次方程应用题，中学课本里有浓度问题、行程问题、工程问题、等积问题，在讲解时，可用一个方程表示不同问题，使他们得到统一，只是问题形式不同而已，其方程形式没有什么本质差异，可一次讲完几个问题。而现有中学教材把它们分开，使学生觉得似乎几种问题毫不相干。因为这些问题具体不同的思维形式，要受小学、初中和高中学生各阶段思维发展不同特点的制约。

数学思维活动的教学，就是要尽量克服这些制约，使学生在短期内高质量高效率获取知识，大幅度提高思维能力，完成学习任务。

在考虑教材逻辑结构时，还应明确的一个问题是教材内容的特点，即初等数学有些什么特点，对它应有一个总的认识。

1．初等数学是相对于抽象程度来说的，其内容方法都比较直观具体，研究的对象大多可以看得见、摸得着，抽象程度不深，离开现实不远，几乎直接同人们的经验相联系。

2．初等数学是一门综合性数学，它数形并举，内容多种多样，方法应有尽有，自然分成几个部分，各部分又相互渗透，相互为用。

3．初等数学处于基础地位。因为无论数学多么高深，总离不开四则运算，总要应用等式、不等式和基本图形分析。初等数学又是整个数学的土壤和源泉，各专业数学领域几乎都是在这块土壤中发育成长起来的。

4．初等数学的普通教育价值。对中小学生来说，它的智能训练价值远远超过了它的实用价值。

5．与高等数学相互渗透，相互为用。一方面，由于实践中某些问题的出现，使初等方法被深入研究和发展成专门的数学分支，另一方面是高等数学中许多专题的初等化、通俗化。初等数学具有这样的特点，不仅为编写教材提供了依据，同时对数学活动教学的模式来说也是恰到好处的。比方说，特点1，对于经验材料的数学化有得天独厚的帮助；特点2、3，对数学标准的逻辑组织化也很适宜；特点4、5，是对理论的应用。由此看来，数学活动教学对于初等数学再合适不过了。

数学活动教学，不仅考虑初等数学之特点、教材的逻辑结构，而且具体的某段知识也要仔细研究，不同性质的内容用不同方法去处理，这就是下面要谈的积极的教学方法问题。

四、考虑积极的教学方法

目前关于教学方法的研究呈现出一派兴旺的局面，种类之多、提法之广是历史上少见的。如目前使用的自学辅导法、读读议议讲讲练练教学法、六单元教学法、五课型教学法、自学议论引导教学法、启发诱导效果回授教学法、研究法、发现法等等。可以把这些方法归结为一句话，那就是：积极的教学法。其宗旨是在传授知识的同时，重视发展智力、培养能力。它们的特点是：学生的主体地位，教师的主导地位得到了充分的体现，充分调动学生的积极性，激励学生独立思考，“自主探索，合作交流”^④，培养学生的分析，解决问题和创新能力。从实践效果看，这些方法在某个阶段，对某部分学生，结合某部分内容确实有事半功倍功能，但这些方法哪个都不是万能的，不是教学通法。因为教法要受学生水平的差异，兴趣的不同，教材内容的变化，教师素质不平衡等各方面条件的限制。

我们主张，采用积极的教学法，因课、因人、因时、因地而异。比方说，对于教材内容多数是逻辑上分散的数学定义和公理等采用自学辅导法（也称“三本”教学法^⑤）较为适宜；对于教材中的一般公式、定理等采用问题探索法较好；对于教材中理论性较强的难点，一般采用讲解法较好；对于复习某些重要的知识点和基本技能，可采取练习法巩固。教师在教学中要灵活掌握，而不要硬套单一的教学方法。

数学活动的教学实质上是积极性思维活动的教学。正所谓“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”。因此，在教学中调动学生积极的学习情感极为重要。一般来说，教学内容的生动性，数学知识的适用性和趣味性，方法的直观性，教师和家长的良好评价和鼓励，学习成绩的好坏，都可以调动学生学习数学的情感，提高积极性和创造性。另外，如参加数学游艺晚会和课外活动，参观工厂、机房，实地考察；介绍数学在各行中的应用并动手设计；尤其是数学应用在各领域取得重大成果时，能够促进青少年扩大视野，丰富知识，增进技能。从而发展他们的思维能力，提高学习的积极性和主观能动性。也可讲一点数学史方面的知识，比如我国古代科学家的重大贡献及在世界上的影响，它能激发学生学习数学的积极性和学好数学为祖国作贡献的爱国情怀。

另外，从学习方法上看，随着学科多样化和深刻化，中学生的学习方法比小学生更自觉，更具有独立性和主动性。

因此，在教学中教师就要注意启发学生的思维。究竟怎样启发学生去积极思维呢？方法是多种多样的。比方说可以用如下方法：①创设问题情境，例如：“在讲解代数式55x+30y可以表示什么？”时，可结合实例讲解：郴州市苏仙岭的门票价格是成人55元/人，学生30元/人，一个旅游团有成人x人，学生y人，则代数式55x+30y该旅游团应付的门票费。②正确提供直观材料让学生从具体转到抽象，例如：“讲解直线与圆的位置关系”时，可利用多媒体，演示清晨太阳从地平线上慢慢升起的动画，让学生初步感知认识直线和圆的三种位置关系。③也可运用已有知识学习新知识，把新旧知识联系起来，例如“讲解正方形的性质”时，可以把矩形和菱形的边，角，对角线的有关性质列表对比，把两张表合并起来则成为正方形的有关性质。这可以帮助学生理解正方形既是矩形，又是菱形。也有助于学生对正方形性质的记忆，理解和运用。④还可以把语言和思维结合起来，达到启发思维的目的和帮助学生思维条理化。

例如：已知∠B=∠C，∠BAD=∠CAE。求证：AD=AE。

教师可以如下引导学生：本题可以把线段AD和AE放在两个三角形中，即△ABD和△ACE中。只要证△ABD≌△ACE，再根据全等三角形的对应边相等，可证明AD=AE。下面找三角形全等的条件，即∠B=∠C，∠BAD=∠CAE。根据全等三角形的判定方法--------SAS，ASA，AAS，SSS，HL，从中排除SAS，SSS，HL，即可选ASA和AAS。要么找两角的夹边相等，要么找两角中的一角的对边BD和EC。（而AD=AE不能找，因为是要求证的结论）通过观察，从∠B=∠C可利用等角对等边，得到AB=AC再利用AAS可证△ABD≌△ACE，问题可以解决；或者把AD和AE放在同一个三角形中即△AED，根据等角对等边，因此只要证明∠ADE=∠AEC，而∠ADE和∠AEC，恰好是△ABD和△AEC的一个外角，根据三角形的外角性质有∠ADE=∠AEC，问题也可以解决。